Függelék - Tenzorok



       Az általános relativitáselmélet nem utal azokra a hatásmechanizmusokra, amelyek révén a tömeg manipulálja a teret – viszont nagyon pontosan leírja a tömegnek a térre való viszonyát a tenzorfogalom segítségével. Az elmélet megértésének egyik akadálya, hogy előbb-utóbb olyan fogalmakkal kell megbirkóznunk, mint a mátrixok, a vektormezők és duális terek, majd a kontravariáns és a kovariáns tenzorok. Megnyugtatásul: tudománytörténeti tényként kezelik, hogy Einsteinnek is komoly problémát jelentett a tenzorok fogalmának megértése – pedig neki ebben Levi-Civita segített.

       A tenzorok olyan mértani fogalmak, melyeksegítségével bármely viszonyítási rendszerben ki lehet fejezni egy másik, független koordinátarendszerben történő skaláris, vektoriális vagy lineáris műveleteket. Mivel ez így elég bonyolultnak tűnhet, ime egy példa: kávéscsészénkbe tegyünk egy kockacukrot, töltsük rá a kávét, s szálljunk be a liftbe, majd induljunk el fölfelé. Ha most a kockacukorra nézünk, azt látjuk, hogy térfogata lassan csökken, de egyébként nyugalomban marad a csésze alján, helyzetét meghatározza a körülötte levő kávé nyomása,mérete pedig olyan paraméterktől függ,mint a kávéval való érintkezési felület, a körülvevő folyadék áramlási sebessége, hőmérséklete, stb. Ha viszont valaki a lift üvegfalán keresztül követné a kockacukor állapotát,azt látná, hogy a gravitációs hatás ellenére a követett objektum gyorsulva emelkedik – s közben olvadozik. Az épület felett elhúzó repülőben levő megfigyelő szerint pedig közeledik, majd távolodik az emelkedő kockacukor. S a szemlélők, illetve a referenciarendszerek variálását bármeddig bővíthetjük, helyezhetünk megfigyelőt a Holdra vagy egy másik galaxisba. És ha valamelyik referenciarendszer a fénysebességet megközelítő gyorsasággal mozog a liftünkhöz képest, akkor a fentebb említett Lorentzt-transzformációkat is alkalmazni kell a helyes eredmény érdekében. A lényeg az, hogy amennyiben ismerjük a két referenciarendszer viszonyát, ki lehet számítani az objektum viselkedését: a repülő utasa kiszámíthatja, hogy mit látott az, aki a lift falán keresztül követte az eseményeket. Ezekhez a számításokhoz viszont ismernünk kell azokat a komponenseket, amelyek meghatározzák a vizsgált objektum állapotát. És itt nem csak a pillanatnyi helykoordináták megadásáról van szó: követni kell a hőmérsékletet, légnyomást, a kávé áramlási sebességét – ha már a fenti példánál maradunk, ezek is olyan változók, amelyek nagymértékben meghatározzák a kockacukor fizikai állapotát egy adott pillanatban. Ezenkomponensek mértéke változik ugyanis, amint az egyikmegfigyelő koordinátarendszeréből áttérünkegy másikéra. Ezt az áttérést lehet úgyjelölni, hogy az egyik rendszerben meghatározott vektor vagyskalár paramétereit megszorozzuk egy mátrixxal. Mivelegy objektum állapotát nagyon sok vektor és skaláris jellemzheti, ezek a mátrixok – vagy tenzorok – is sokkomponensűek lehetnek.

       A fizikai mennyiségeket osztályozhatjuk szabadságfokuk száma szerint. A skaláris mennyiségeket, mint a tömeg vagy a hőmérséklet,egyetlen szám jellemzhet (és a mértékegység). A vektorokat viszont, mint amilyen az erő, egy egész sor adattal lehet csupán jellemzni. Legmagasabb szabadsági fokuk a kvadratikus képződményeknek van, amelyeket csak többszörös indexxel lehet leírni, és csak tenzorként képzelhetők el. Jelenleg mindhárom formát tenzornak tekintik: a skalár nulladrangú tenzor, mert leírásához nem szükséges index, a vektorok pedig elsőrangú tenzorok.

       A kontravariáns fogalom a tenzorok esetébena vetítés irányára vonatkozik: ezesetben a vektorokkiindulási pontját tekintjük a koordinátarendszer origójának, a koordinátákat pedig felső indexxel jelöljük. Igy a tenzor kontravariáns komponensei a saját koordinátáira való vetületét jelentik – tetszőleges számú dimenzióban. A kontravariáns komponensek a tangenstérhez (Tp) tartoznak: ez egy sík vektormező, amely egy adott ponthoz tartozó minden lehetséges vektort tartalmaz. Ehhez a térhez kapcsolódik a kotangens mező (T*p), amely szintén egy valós vektormező, és amelyet a Tp duális tereként lehet értelmezni: a Tp vektorainak lineáris vetületeialkotják.
       A kotangens mező komponenseit kovariáns komponensekneknevezzük és alsó indexxel jelöljük.

vissza a sivatagba (A jó öreg XX. sz. paradigmáihoz)